下一步
把這個想法往前推
只有當你想讓目前的模型延伸成更大的分支時，才打開下一個概念、路線或路徑。
數學 · 複數和平面引數運動
單位圓 / 由旋轉產生的正弦和餘弦
模擬載入中
Open Model Lab 正在為這個概念準備即時實驗台、控制項與圖表區。
總結
你學會了甚麼
- 建議下一步
- 打開概念測驗不離開這個概念，先確認核心想法是否已經掌握。
- 接下來讀甚麼
- Polar Coordinates / Radius and AngleKeep angle as direction while radius changes the size of the projection story.
關鍵重點
- On the unit circle, the angle θ selects the point (cos θ, sin θ).
- Cosine is the horizontal projection and sine is the vertical projection of that same point.
- Quadrant signs come from axis crossings: left of the y-axis means negative cosine, and below the x-axis means negative sine.
- Changing angular speed changes how fast the traces are drawn, not the coordinate rule at each angle.
常見迷思
Do not treat sine, cosine, and quadrant signs as separate memorized tables. They are all readings of one rotating point and its projections.
這些圖形來自同一個旋轉點在單位圓上的同一位置。
先留在這個概念
想再鞏固這個概念時，可以在這裡複習、測一測或自由探索。
接下來讀甚麼
用最相關的延伸概念，順勢接續下一段學習。
- 接下來讀甚麼Keep angle as direction while radius changes the size of the projection story.Polar Coordinates / Radius and Angle
更多延伸閱讀Trig Identities from Unit-Circle Geometry · Uniform Circular Motion
參考
參考與支援
如果你想在引導流程之後再慢慢看完整解釋、例題或無障礙說明，可以回到這些較安靜的段落。
想再走一次較慢的參考節奏時，可以回來這裡。
打開參考與支援
公式速覽單位圓上的點 · 角度在時間中顯示 3 條公式
Start with the point (cos θ, sin θ), then use θ(t) only to explain how the same point moves and why the projection signs change at the axes.
單位圓上的點
由角度θ選定的活躍點，其x坐標為餘弦值，y坐標為正弦值。
角度在時間中
當旋轉速率保持恆定時，角度隨著時間穩定增長。
軸上的符號邏輯
符號遵循投影落在每個軸的哪一側。
為什麼會這樣
解釋
當一個旋轉點、其水平和垂直投影以及正弦和餘弦軌跡同時保持可見時，單位圓是最容易信任的。這個平台將這些部件與同一個實際可見的角度連線起來，而不是將正弦和餘弦視為獨立的圖表規則。
餘弦是 x 坐標因為水平投影實際上就是點在 x 軸上的影子。正弦是 y 坐標同樣的原因在 y 軸上。隨著點透過象限移動，符號會變換因為投影會隨著點的移動而改變。
重點
01在單位圓上，由角度 θ 選擇的點是有序對 (cos θ, sin θ)。
02餘弦是同一旋轉點在同一單位圓上的水平投影，正弦是其垂直投影。
03象限符號變換是幾何學先決條件：左側意味著負的餘弦，低於軸意味著負的正弦。
例題
例題
想逐步查看同一個概念如何被帶出來時，再打開這些例題。
例題
例題
想逐步查看同一個概念如何被帶出來時，再打開這些例題。
凍結數值凍結於 0.00
對於當前時間和旋轉狀態，運動正在選擇單位圓上的哪個點？
Time
0 s
角速度
1 rad/s
相位
0.18 rad
1. 閱讀當前的角度
The live angle comes from , so the current rotation is at or about 10.31 deg.
2. 閱讀同一點的兩個投影
The horizontal projection gives and the vertical projection gives .
3. 輸入當前單位圓點
So the rotating point is .
當前單位圓點
The positive cosine value matches the point staying on the right side of the unit circle.
快速測驗
正在載入已保存的測驗狀態。
無障礙
無障礙
當你需要把模擬與圖表轉成文字描述時，再打開這裡。
無障礙
無障礙
當你需要把模擬與圖表轉成文字描述時，再打開這裡。
模擬顯示一個單位圓，帶有一個旋轉點、軸上的餘弦和正弦投射、角度標記以及四象限的符號圖表。
圖表摘要
一個圖表顯示餘弦和正弦隨著時間一起變動，另一個圖表則顯示同一角度隨時間增加。
工作台工具與分享連結
先把穩定概念連結和精確狀態分享收起來，等你真的要重新打開或分享工作台時再展開。
工作台工具與分享連結
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試試這個設定
跳到某個命名好的實驗台狀態，或直接複製你目前正在看的狀態。分享連結會重新打開同一組控制、圖表、疊層與比較脈絡。
已儲存設定
已儲存設定屬於支持者方案學習工具；穩定的概念連結仍會對所有人保留。
正在確認已儲存設定權限
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穩定連結