最佳起步未開始新接觸
平面複數
將複數視為平面上的點和向量，然後保持加法和乘法的幾何意義而不僅僅是符號運算。
複數平面幾何
不用先掃完整個概念庫，也能由這個主題最穩妥地起步。
Real and imaginary partsMagnitude and argumentAddition as vectors
打開概念主題頁面數學6 個概念140 分鐘
複數與參數運動
用一條受限的數學支線，把複數平面、單位圓旋轉、極座標、三角恆等式、反三角角度判讀，以及由方程描出的運動軌跡都綁在同一套座標語言上。
This topic deepens the math subject without exploding the curriculum tree. Complex Numbers on the Plane keeps real part, imaginary part, magnitude, argument, addition, and multiplication readable on one plane, Unit Circle / Sine and Cosine from Rotation turns that same plane into live projections, Polar Coordinates / Radius and Angle keeps one radius-angle point tied to the same x and y geometry, Trig Identities from Unit-Circle Geometry shows how the core identities are forced by the same point on the same circle, Inverse Trig / Angle from Ratio keeps ratio recovery and quadrant checks on that same plane, and Parametric Curves / Motion from Equations finally reuses the coordinate pair while a moving point traces a path from x(t) and y(t).
標準主題：複數與參數運動瀏覽概念庫
最佳起步概念
先打開一個紮實概念，再決定是否要掃完整個主題。
這些起步點會保留在獨立而緊湊的一列，讓第一屏更專注於定向與下一步，而不是堆滿功能卡片。
最佳起步未開始新接觸
單位圓 / 由旋轉產生的正弦和餘弦
保持一個旋轉點、其在 x 軸和 y 軸上的投影以及正弦和餘弦軌跡連線在一起，使單位圓成為兩個函式的活生生來源。
旋轉和投影
不用先掃完整個概念庫，也能由這個主題最穩妥地起步。
cosine as xsine as yQuadrant sign changes
打開概念最佳起步未開始新接觸
極坐標 / 半徑和角度
在同一時間保持一個點在極坐標和笛卡爾坐標檢視中可見，以便半徑和角度直接轉換為平面上的 x 和 y。
半徑-角度坐標
不用先掃完整個概念庫，也能由這個主題最穩妥地起步。
Radius and angle on one planex = r cos(theta)y = r sin(theta)
打開概念最佳起步未開始新接觸
從單位圓幾何學出正弦恆等式
保持一個旋轉點及其投影的可見性，使核心三角恆等式與幾何緊密聯絡，而不是脱離符號規則。
平面上的三角幾何
不用先掃完整個概念庫，也能由這個主題最穩妥地起步。
cos^2 + sin^2 = 1Complementary-angle swapSigns can change while the identity stays fixed
打開概念最佳起步未開始新接觸
反三角函式 / 從比值求角度
保持一個極坐標點及其坐標符號可見，使反三角函式成為基於比值的角度推理，而不是僅依靠計算器。
從 x 和 y 恢復角度
不用先掃完整個概念庫，也能由這個主題最穩妥地起步。
tan(theta) as y/xPrincipal-angle outputQuadrant correction
打開概念最佳起步未開始新接觸
引數曲線 / 從方程式描述運動
把 x(t)、y(t)、描出的路徑和移動點一起保持可見，讓形狀與行進軌跡都清楚可讀。
用方程描述平面上的運動
不用先掃完整個概念庫，也能由這個主題最穩妥地起步。
x(t) and y(t) togetherPath vs traversalMoving point on a curve
打開概念明確學習目標
當這個主題有明確目標時，用一條精簡的建議路徑。
這些目標卡保持人工編排和透明說明。它們重用目前的主題頁、入門路徑、引導集合、概念組合與進度提示，而不是再額外疊上一套推薦系統。
建立直覺未開始4 個步驟9 個概念213 分鐘
以複數和平面運動建立座標直覺
用複數與參數主題頁、課程集、緊湊入門路徑與向量主題頁，讓平面語言由複數點擴展到單位圓、極座標、三角恆等式、反三角，再走到參數運動。
入口診斷
從起始步驟開始
目前還沒有任何已保存的入口診斷檢查，因此起始步驟仍然是進入這個合集的最佳入口。
重用 複數與參數運動課程集 的 引導式集合 入口，目前 3 個探針中已有 0 個準備完成。
複平面主題路線課程集單位圓投影極點與分量恆等式與反角推理入門路徑路徑與軌跡向量下一步
分組概覽
按學習意圖瀏覽這個主題，而不是只看一長列未分組清單。
每個分組都是為這個主題而編排，但真正的概念內容、進度徽章與路徑提示仍來自標準概念資料與共享進度模型。
第 01 組
Complex plane geometry
Start with one plane where complex numbers behave as both points and vectors, and where multiplication can be read as scale plus turn.
1 個概念25 分鐘
第 02 組
Rotation and projections
Then keep one rotating point and one radius-angle point on the same plane so cosine, sine, and polar coordinates all become one linked geometry.
2 個概念42 分鐘
第 03 組
Trig geometry reasoning
Once the point and its projections are stable, keep the same plane while the core identities and inverse-angle recovery come from the geometry instead of detached symbolic tricks.
2 個概念48 分鐘
第 04 組
Motion from coordinate rules
Finally keep the same plane while x(t) and y(t) drive one moving point and make the difference between path and traversal visible.
1 個概念25 分鐘