數學 · 複數和平面引數運動

引數曲線 / 從方程式描述運動

模擬載入中

Open Model Lab 正在為這個概念準備即時實驗台、控制項與圖表區。

總結

你學會了甚麼

建議下一步: 打開概念測驗不離開這個概念，先確認核心想法是否已經掌握。
接下來讀甚麼: Vectors in 2DUse the same plane and ordered-pair language to read direction and displacement.

關鍵重點

A shared parameter t selects one ordered pair (x(t), y(t)) at a time.
Amplitudes mainly change the horizontal and vertical reach of the path.
Frequencies, phase shift, and the current time explain how the point travels through the trace.
The full path and the moving-point/time readouts answer different questions, so both views matter.

常見迷思

Do not treat the picture of the curve as the whole story. The same-looking path can hide a different traversal, and a timing change can alter the shape too.

描出的路徑和時間上的行進方式彼此相關，但並不是同一回事。

下一步

把這個想法往前推

只有當你想讓目前的模型延伸成更大的分支時，才打開下一個概念、路線或路徑。

把同一套平面語言帶到向量與方向的閱讀向量

2D向量

在一個平面上合併、減去和縮放向量，使大小、方向和分量保持與同一活體物件的聯絡。

同主題下一步：複數與參數運動複數與參數運動

從單位圓幾何學出正弦恆等式

保持一個旋轉點及其投影的可見性，使核心三角恆等式與幾何緊密聯絡，而不是脱離符號規則。

同主題下一步：複數與參數運動複數與參數運動

反三角函式 / 從比值求角度

保持一個極坐標點及其坐標符號可見，使反三角函式成為基於比值的角度推理，而不是僅依靠計算器。

先留在這個概念

想再鞏固這個概念時，可以在這裡複習、測一測或自由探索。

更多練習選項回到實驗台複習 · 例題

練習選項回到實驗台複習帶著關鍵控制和圖表，再走一次引導式設定。
練習選項例題自己試完設定後，再對照已完成的例題步驟。
練習選項在實驗台自由探索轉到下一個概念前，先自由試玩即時控制。

接下來讀甚麼

用最相關的延伸概念，順勢接續下一段學習。

接下來讀甚麼Use the same plane and ordered-pair language to read direction and displacement.Vectors in 2D
更多延伸閱讀Projectile Motion
1. 接下來讀甚麼Apply x(t) and y(t) thinking to a physical motion path.Projectile Motion

參考

參考與支援

如果你想在引導流程之後再慢慢看完整解釋、例題或無障礙說明，可以回到這些較安靜的段落。

想再走一次較慢的參考節奏時，可以回來這裡。

打開參考與支援

公式速覽x 坐標規則 · y 坐標規則顯示 3 條公式

Read x(t) and y(t) together as one ordered pair, then use the speed rule only when you need the traversal story.

x 坐標規則
$x (t) = A_{x} cos (n_{x} t)$
設定水平運動為引數 t 的函式。
y 坐標規則
$y (t) = A_{y} sin (n_{y} t + ϕ)$
設定垂直運動並允許相位偏移。
沿路徑的速度
$v = (\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2}$
將點的運動與其偶然繪製的路徑分開。

為什麼會這樣

解釋

當路徑和沿著該路徑的運動同時保持可見時，引數曲線就更容易建立直覺。這個試驗台會把 x(t)、y(t)、描出的曲線以及移動點，全都綁到同一個時間滑桿上。

重點是分清兩個常被混淆的概念：平面上畫出的形狀，以及點沿著那條形狀移動時的時間順序。

重點

01x(t) 和 y(t) 會一起決定平面上的一個移動點。

02改變振幅會改變描出的路徑大小，而改變頻率則會影響點沿路徑前進的節奏。

03即使曲線的整體形狀一樣，點沿著它移動的速度也可以不同。

例題

想逐步查看同一個概念如何被帶出來時，再打開這些例題。

凍結步驟

逐步查看凍結例題

凍結步驟

直接使用目前的引數工作台，而不是分離的代入題。

支持者方案會解鎖已儲存學習工具、精確狀態分享，以及支援這條引導流程的更深入複習面板。

查看方案

凍結數值使用凍結參數

在目前時間，點在引數曲線上的哪個位置？

A_{x}

x 振幅

3.2

A_{y}

y 振幅

2.4

ϕ

相位移

1. 從目前時間開始

The current time is t = 0.

2. 一起讀取 x(t) 和 y(t)

At this moment, x(t) = 3.2 and y(t) = 0.

3. 把這一對數值放回平面

So the moving point is at (3.2, 0) on the traced curve.

目前的點

(x, y) = (3.2, 0)

The point is moving at a moderate speed here, so the curve and the motion cue still feel tightly linked.

快速測驗

正在載入已保存的測驗狀態。

無障礙

當你需要把模擬與圖表轉成文字描述時，再打開這裡。

模擬顯示引數曲線、移動點以及振幅、頻率和相位偏移的控制。點透過同一平面移動，而整個路徑在此處被繪製。

圖表摘要

一個圖表同時顯示 x(t) 和 y(t)，另一個圖表則顯示點的速度隨時間變化。

工作台工具與分享連結

先把穩定概念連結和精確狀態分享收起來，等你真的要重新打開或分享工作台時再展開。

試試這個設定

跳到某個命名好的實驗台狀態，或直接複製你目前正在看的狀態。分享連結會重新打開同一組控制、圖表、疊層與比較脈絡。

目前實驗台

Lissajous loop 預設場景

這個實驗台目前顯示的是其中一個概念作者預設場景。

打開預設實驗台

精選設定

橢圓軌跡

開啟一個單頻率的橢圓，讓完整路徑和時間軌跡都清楚可見。

相位偏移迴圈

開啟一個相位偏移的迴圈並比較繪製的路徑與移動的點。

已儲存設定

已儲存設定屬於支持者方案學習工具；穩定的概念連結仍會對所有人保留。

正在確認已儲存設定權限

Open Model Lab 正在判斷這個實驗台可否只儲存在本機、同步到帳戶，或打開只限支持者方案的比較工具。

複製目前設定

精準狀態分享屬於支持者方案功能；穩定的概念與段落連結仍然可用。

穩定連結

進度與下一步

把進度訊號、入門路徑接續和複習提示留在頁面裡，但不要讓它們和主要學習流程搶焦點。

進度

正在載入進度

正在為這個瀏覽器或已同步帳戶載入已儲存的概念進度，稍後才會顯示完成狀態。

入門路徑

第 6 / 6 步

複數與參數運動

引數曲線 / 從方程式描述運動在這條路徑中屬於較後面的步驟，所以先由起點開始會較清楚。

上一個步驟：反三角函式 / 從比值求角度

由路徑起點開始