物理 · 重力與軌道

開普勒第三定律與軌道週期

模擬載入中

Open Model Lab 正在為這個概念準備即時實驗台、控制項與圖表區。

總結

你學會了甚麼

建議下一步: 打開概念測驗不離開這個概念，先確認核心想法是否已經掌握。
接下來讀甚麼: 逃逸速度未連結閾值

關鍵重點

繞同一質量源的圓軌道中，週期以顯示單位與 $T_{c} = 2 π r^{3} / M$ 成比例，比例係數為 $G = 1$ 。
在固定質量源的情況下，較大的圓軌道不僅周長更長，而且圓周速度更低，因此週期比半徑單獨增長更快。

常見迷思

較大的軌道需要更長時間僅因為物體繞行時有更遠的距離要走，而軌道速度大致保持不變。

路徑更長，但這只是故事的一半。在更大的半徑處，由於重力較弱，圓周速度也更低。

保持軌道時間故事的進展

把這個想法往前推

只有當你想讓目前的模型延伸成更大的分支時，才打開下一個概念、路線或路徑。

未連結閾值重力與軌道

逃逸速度

從單一重力來源向外發射，觀察來源質量、發射半徑與總比能量如何決定物體是成功逃逸，還是最終回頭落回來。

能量聯絡重力與軌道

重力勢與重力勢能

觀察單一來源質量如何形成負值的勢阱，比較重力勢與勢能如何隨距離改變，並把勢圖的斜率連到重力場方向。

速度總結重力與軌道

圓形軌道及軌道速度

瞭解為何需要正確的側向速度才能維持圓形軌道，以及重力如何提供所需的向心加速度。同時探索質量和半徑之間的關係對軌道速度和週期的影響。

先留在這個概念

想再鞏固這個概念時，可以在這裡複習、測一測或自由探索。

更多練習選項回到實驗台複習 · 例題

練習選項回到實驗台複習帶著關鍵控制和圖表，再走一次引導式設定。
練習選項例題自己試完設定後，再對照已完成的例題步驟。
練習選項在實驗台自由探索轉到下一個概念前，先自由試玩即時控制。

接下來讀甚麼

用最相關的延伸概念，順勢接續下一段學習。

接下來讀甚麼未連結閾值逃逸速度
更多延伸閱讀重力勢與重力勢能 · 圓形軌道及軌道速度
1. 接下來讀甚麼能量聯絡重力勢與重力勢能
2. 接下來讀甚麼速度總結圓形軌道及軌道速度

參考

參考與支援

如果你想在引導流程之後再慢慢看完整解釋、例題或無障礙說明，可以回到這些較安靜的段落。

想再走一次較慢的參考節奏時，可以回來這裡。

打開參考與支援

公式速覽來自一個質量源的重力 · 圓周速度顯示 2 條公式

來自一個質量源的重力
$g = \frac{M}{r ^{2}}$
在顯示單位的有界實驗室中使用 $G = 1$ ，向內的重力加速度由源質量和半徑設定。
圓周速度
$v_{c} = \frac{M}{r}$
將重力與轉彎需求匹配固定了選擇半徑處圓周軌道的側向速度。

為什麼會這樣

解釋

開普勒第三定律是從時間角度理解同一個質量源周圍的圓軌道平衡。較大的圓軌道需要更長時間，因為路徑更長，而且在更大半徑處允許的圓軌道速度更低。

這個封閉實驗只有一個質量源、一條選定的參考軌道、一個速度因子、一條即時軌跡，以及和同一個狀態連在一起的半徑、速度與加速度平衡圖。這令週期定律保持誠實：它不是孤立的天文規則，而是重力決定圓軌道速度後得到的時間結果。

重點

01繞同一質量源的圓軌道中，週期以顯示單位與

T_{c} = 2 π r^{3} / M

成比例，比例係數為

G = 1

。

02在固定質量源的情況下，較大的圓軌道不僅周長更長，而且圓周速度更低，因此週期比半徑單獨增長更快。

03開普勒第三定律描述的是圓軌道平衡情況。如果速度因子移離1.00，路徑就不再是定律所談論的那個圓軌道。

例題

即時週期檢查

想逐步查看同一個概念如何被帶出來時，再打開這些例題。

凍結步驟

逐步查看凍結例題

凍結步驟

使用畫面上已經存在的同一個質量源、參考軌道半徑和速度因子。這些示例會一直和即時模擬連在一起，而不是跳去一個分離的標準答案。

支持者方案會解鎖已儲存學習工具、精確狀態分享，以及支援這條引導流程的更深入複習面板。

查看方案

例題 1 / 2

凍結數值使用凍結參數

對於當前的質量源和選擇的圓軌道半徑，一整圈應該需要多長時間？

M

源質量

4 kg

r

參考軌道半徑

1.4 m

1. 開始於圓周速度

For the circular case, the same gravity-turning balance gives

v_{c} = M / r = 4/1.4

2. 將速度轉換為一圈時間

A circular period is circumference divided by circular speed, so

T_{c} = 2 π r / v_{c} = 2 π r^{3} / M

3. 計算即時圓軌道週期

For this bench,

T_{c} = 5.2 s

, with

ω_{c} = 1.21 rad/s

and

T_{c}^{2} / r^{3} = 9.87 s^{2} / m^{3}

當前圓軌道週期

T_{c} = 5.2 s

The period comes from the same live circular condition: one full orbit is the circumference divided by the allowed circular speed.

快速測驗

正在載入已保存的測驗狀態。

無障礙

當你需要把模擬與圖表轉成文字描述時，再打開這裡。

模擬展示中心有一個固定質量源、從選擇的參考半徑右側發射的一個移動衞星，以及可選的虛線參考軌道、當前半徑線、切向速度向量、內向引力向量和軌跡軌跡。

改變質量源、參考軌道半徑或速度係數會一起更新相同的軌道路徑、圓周速度讀數、圓周週期讀數、定律比率讀數以及相關圖表。比較模式在不切換到另一個軌道模型的情況下疊加第二套設定。

顯示的單位使用一個有界單源引力模型和 $G = 1$ 。最小樣本半徑保持舞台和圖表有限且可讀，同時保留正確的內向和反平方趨勢。

圖表摘要

半徑歷史圖比較了當前半徑與選擇的參考圓軌道半徑隨時間的變化，以便判斷軌跡是否仍為圓軌道情況。

速度歷史圖比較了即時速度與當前半徑所需的圓周速度，而加速度平衡圖則比較了重力與該活躍路徑上的轉彎需求 $v^{2} / r$ 。

工作台工具與分享連結

先把穩定概念連結和精確狀態分享收起來，等你真的要重新打開或分享工作台時再展開。

試試這個設定

跳到某個命名好的實驗台狀態，或直接複製你目前正在看的狀態。分享連結會重新打開同一組控制、圖表、疊層與比較脈絡。

已儲存設定

已儲存設定屬於支持者方案學習工具；穩定的概念連結仍會對所有人保留。

正在確認已儲存設定權限

Open Model Lab 正在判斷這個實驗台可否只儲存在本機、同步到帳戶，或打開只限支持者方案的比較工具。

複製目前設定

精準狀態分享屬於支持者方案功能；穩定的概念與段落連結仍然可用。

穩定連結

進度與下一步

把進度訊號、入門路徑接續和複習提示留在頁面裡，但不要讓它們和主要學習流程搶焦點。

進度

正在載入進度

正在為這個瀏覽器或已同步帳戶載入已儲存的概念進度，稍後才會顯示完成狀態。

入門路徑

第 4 / 5 步

重力與軌道

開普勒第三定律與軌道週期在這條路徑中屬於較後面的步驟，所以先由起點開始會較清楚。

上一個步驟：圓形軌道及軌道速度

由路徑起點開始