物理 · 波動

駐波

模擬載入中

Open Model Lab 正在為這個概念準備即時實驗台、控制項與圖表區。

總結

你學會了甚麼

建議下一步: 打開概念測驗不離開這個概念，先確認核心想法是否已經掌握。
接下來讀甚麼: Resonance in Air ColumnsSame node rules in pipes

關鍵重點

Nodes are fixed cancellation points, while nearby parts of the string can still oscillate strongly.
Antinodes mark the largest local envelope; one instant of zero displacement does not make an antinode a node.
Mode number sets the fitted wavelength, node spacing, and frequency for a string with fixed ends.

常見迷思

A standing wave is not a frozen string. The mode pattern is fixed in space, but most points still move up and down in time.

空間模式是固定的，但幾乎每個節點之間的位置仍會隨時間上下振動。

繼續波的故事

把這個想法往前推

只有當你想讓目前的模型延伸成更大的分支時，才打開下一個概念、路線或路徑。

開管與閉管聲音

空氣柱共振 / 開口和封閉管

比較開口和封閉管邊界條件在同一緊湊空氣柱上的影響，使駐波形狀、缺失的偶數諧波、探針運動和壓力提示保持與同一共振狀態一致。

共振響應振盪

阻尼 / 複振動

探索阻尼如何移除能量、驅動頻率如何改變振幅，以及為什麼在自然頻率附近複振動會變得更加劇烈。

探針振動振盪

振動能量

觀察簡單諧振運動中動能和位能的交換，同時總能量保持不變。

先留在這個概念

想再鞏固這個概念時，可以在這裡複習、測一測或自由探索。

更多練習選項回到實驗台複習 · 例題

練習選項回到實驗台複習帶著關鍵控制和圖表，再走一次引導式設定。
練習選項例題自己試完設定後，再對照已完成的例題步驟。
練習選項在實驗台自由探索轉到下一個概念前，先自由試玩即時控制。

接下來讀甚麼

用最相關的延伸概念，順勢接續下一段學習。

接下來讀甚麼Same node rules in pipesResonance in Air Columns
更多延伸閱讀Damping and Resonance · Oscillation Energy

參考

參考與支援

如果你想在引導流程之後再慢慢看完整解釋、例題或無障礙說明，可以回到這些較安靜的段落。

想再走一次較慢的參考節奏時，可以回來這裡。

打開參考與支援

公式速覽Mode fit and local motion · 允許波長顯示 3 條公式

Use the fitted wavelength to count nodes, then use the displacement equation to decide what one probe point does in time.

Mode fit and local motion
$y_{n} (x, t) = A sin (\frac{nπ x}{L}) cos (ω_{n} t)$
空間模式形狀和共用的時間振動相乘，得到局部位移。
允許波長
$λ_{n} = \frac{2 L}{n}$
第 n 個諧波會把 n 個半波長段放進固定長度的弦上。
允許頻率
$f_{n} = \frac{n v}{2 L}$
一旦設定波速和弦長，每個諧波都有對應的振動頻率。

為什麼會這樣

解釋

駐波由兩個等幅波沿相反方向傳播，並在同一個有邊界的系統上持續干涉而成。某些位置一直互相抵消，因此成為節點；其他位置增強最明顯，成為反節點。

這個實驗只保留一條弦、一個即時探針和一個一致的振動狀態。模式形狀圖、正在運動的弦和探針讀數都來自同一個諧波，所以模式數、節點、反節點、干涉和局部振動會連在一起。

重點

01節點是由持續的破壞性干涉形成的固定位置，不代表整條弦上的波消失。

02反節點是振幅最大的位置，所以那裡的局部時間跡線會達到駐波的最大振幅。

03較高階的諧波會在同一條弦上放入更多半波長段，因此節點增加，振動頻率也升高。

例題

即時諧波檢查

想逐步查看同一個概念如何被帶出來時，再打開這些例題。

凍結步驟

逐步查看凍結例題

凍結步驟

這些例題直接從即時狀態讀取目前諧波、弦長、探針位置和檢查時間，讓代數保持連在你正在觀看的同一條弦上。

支持者方案會解鎖已儲存學習工具、精確狀態分享，以及支援這條引導流程的更深入複習面板。

查看方案

例題 1 / 2

凍結數值使用凍結參數

根據目前模式數和弦長，這個駐波需要哪個波長和振動頻率？

n

模式數

L

弦長

1.6 m

v

波速

1.2 m/s

1. 從允許模式關係開始

固定兩端的弦可用

λ_{n} = \frac{2 L}{n}

和

f_{n} = \frac{n v}{2 L}

。

2. 代入目前諧波

λ_{n} = \frac{2 ( 1.6 )}{2}

，

f_{n} = \frac{( 2 ) ( 1.2 )}{2 ( 1.6 )}

。

3. 計算允許的振動

所以

λ_{n} = 1.6 m

，

f_{n} = 0.75 Hz

，節點間距是

0.8 m

。

目前諧波要求

λ_{n} = 1.6 m, f_{n} = 0.75 Hz

提高模式數會在同一條弦上多放入一個半波長段，因此多出一個波腹和一個內部節點。

快速測驗

正在載入已保存的測驗狀態。

無障礙

當你需要把模擬與圖表轉成文字描述時，再打開這裡。

模擬顯示一條水平拉緊的固定弦，配有可移動探針標記和下方的尺標。弦會以選定的諧波振動，而可選疊加則會標出節點、反節點，以及組成駐波的兩個行波成分。

改變振幅、弦長、模式數或探針位置，都會立即更新同一舞台、模式形狀圖和探針運動圖，使駐波狀態保持同步。

圖表摘要

模式形狀圖會沿弦的位置繪出帶正負號的駐波振幅，因此零交叉對應節點，峰值對應反節點。

探針運動圖則沿時間繪製所選位置的位移與局部包絡，讓你看見節點幾乎不動，而反節點達到駐波的最大振幅。

工作台工具與分享連結

先把穩定概念連結和精確狀態分享收起來，等你真的要重新打開或分享工作台時再展開。

試試這個設定

跳到某個命名好的實驗台狀態，或直接複製你目前正在看的狀態。分享連結會重新打開同一組控制、圖表、疊層與比較脈絡。

目前實驗台

Second harmonic map 預設場景

這個實驗台目前顯示的是其中一個概念作者預設場景。

打開預設實驗台

已儲存設定

已儲存設定屬於支持者方案學習工具；穩定的概念連結仍會對所有人保留。

正在確認已儲存設定權限

Open Model Lab 正在判斷這個實驗台可否只儲存在本機、同步到帳戶，或打開只限支持者方案的比較工具。

複製目前設定

精準狀態分享屬於支持者方案功能；穩定的概念與段落連結仍然可用。

穩定連結

進度與下一步

把進度訊號、入門路徑接續和複習提示留在頁面裡，但不要讓它們和主要學習流程搶焦點。

進度

正在載入進度

正在為這個瀏覽器或已同步帳戶載入已儲存的概念進度，稍後才會顯示完成狀態。

入門路徑

第 8 / 9 步

波動入門

駐波在這條路徑中屬於較後面的步驟，所以先由起點開始會較清楚。

上一個步驟：波干涉

由路徑起點開始