物理 · 流體

伯努利原理

模擬載入中

Open Model Lab 正在為這個概念準備即時實驗台、控制項與圖表區。

總結

你學會了甚麼

建議下一步: 打開概念測驗不離開這個概念，先確認核心想法是否已經掌握。
接下來讀甚麼: 浮力和阿基米德原理Pressure differences in fluids

關鍵重點

Continuity sets the throat speed from the entry and throat areas before Bernoulli explains the pressure change.
A faster throat spends more of the same budget on kinetic energy per volume, so throat static pressure can drop.
A raised throat spends an additional share on height, which can lower throat pressure even when the speed story is unchanged.
Widening the throat reverses the speed trade and can recover pressure in the same ideal-flow model.

常見迷思

Bernoulli means any fast flow automatically has low pressure.

本頁面的喉部低壓來自具體的有界穩定流動模型，其中同一單一流線保持一個伯努利預算。

將其帶到流體分支

把這個想法往前推

只有當你想讓目前的模型延伸成更大的分支時，才打開下一個概念、路線或路徑。

流體中的壓力差異流體

浮力和阿基米德原理

使用同一個浸沒方塊台，把壓力差、排開流體與浮沉平衡放在一起看，直接連起漂浮、下沉與中性浮力背後的密度關係。

重溫靜態壓力流體

壓力和靜水壓力

使用一個活塞和儲槽來連線力/面積、各方向作用的壓力，以及密度、重力和深度如何構建靜水壓力。

比較由粒子運動引起的壓力熱力學

理想氣體定律與分子動理論

連線壓力、體積、溫度和粒子數量於一個封閉的粒子箱，然後讀取相同壓力變化作為粒子速度和牆壁碰撞率的變化。

先留在這個概念

想再鞏固這個概念時，可以在這裡複習、測一測或自由探索。

更多練習選項回到實驗台複習 · 例題

練習選項回到實驗台複習帶著關鍵控制和圖表，再走一次引導式設定。
練習選項例題自己試完設定後，再對照已完成的例題步驟。
練習選項在實驗台自由探索轉到下一個概念前，先自由試玩即時控制。

接下來讀甚麼

用最相關的延伸概念，順勢接續下一段學習。

接下來讀甚麼Pressure differences in fluids浮力和阿基米德原理
更多延伸閱讀壓力和靜水壓力 · continuity-equation
1. 接下來讀甚麼Review static pressure壓力和靜水壓力
2. 接下來讀甚麼Revisit the speed linkcontinuity-equation

參考

參考與支援

如果你想在引導流程之後再慢慢看完整解釋、例題或無障礙說明，可以回到這些較安靜的段落。

想再走一次較慢的參考節奏時，可以回來這裡。

打開參考與支援

公式速覽同一股流體的連續方程 · 伯努利原理顯示 3 條公式

Use continuity first to get the two speeds, then use Bernoulli to split the same budget among pressure, kinetic, and height terms.

同一股流體的連續方程
$Q = A_{A} v_{A} = A_{B} v_{B}$
同一股穩定、不可壓縮的流體必須以相同體積流率透過截面 A 和喉部 B。
伯努利原理
$P + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g y = constant$
沿著一條理想的穩定軌道，靜態壓力、動能項和高度項在一個保守預算內互相交易。
由截面 A 推得喉部壓力
$P_{B} = P_{A} + \frac{1}{2} ρ (v_{A}^{2} - v_{B}^{2}) - ρ g (y_{B} - y_{A})$
若喉部流得更快或位置更高，留在 B 處的靜壓就會更低。

為什麼會這樣

解釋

伯努利原理是關於一個理想不可壓縮流體單一流線的有界穩定流動能量故事。如果忽略黏性和泵，相同的流體會在靜態壓力、單位體積的動能和高度之間進行交易。因此簡寫為 $P + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g y = constant$ 。

本頁把這個概念維持得緊湊而具體。同一條管道上有入口截面 A 和抬高的喉部 B。連續方程先決定速度如何改變，因為同一體積流率必須透過兩個截面；接著伯努利方程再告訴你，當流體變快、升高，或兩者同時發生時，靜壓會如何變化。

重點不在於快速在每種流體情況下總是意味著低壓。重點更窄，這條單一流線的較高部分必須花費更多相同的伯努利預算在速度和高度上，因此那裡剩下的靜態壓力可以更低。

重點

01對於這個理想流動實驗台上的這一穩定不可壓縮單一流線，在從截面A到喉部B的過程中，

P + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g y

幾乎保持不變。

02連續方程先提供速度關係：如果喉部截面更小，為了維持相同的

Q

，喉部速度就必須更大。

03如果喉部更快，部分相同伯努利預算轉移到動能項，因此喉部靜態壓力可以下降。

04如果喉部也更高，高度項佔用更多預算，所以喉部靜態壓力進一步下降。

05伯努利方程補上了連續方程的部分。連續方程告訴你速度在哪裡改變；伯努利方程則説明同一個改變如何和壓力、高度彼此配合。

例題

實時伯努利檢查

想逐步查看同一個概念如何被帶出來時，再打開這些例題。

凍結步驟

逐步查看凍結例題

凍結步驟

使用實時工作台。當前入口壓力、流速、喉部寬度和喉部高度驅動所有示例。

支持者方案會解鎖已儲存學習工具、精確狀態分享，以及支援這條引導流程的更深入複習面板。

查看方案

例題 1 / 2

凍結數值使用凍結參數

對於當前的工作台， $P_{A} = 32 kPa$ ， $Q = 0.18 m^{3} /s$ ， $A_{A} = 0.1 m^{2}$ ， $A_{B} = 0.05 m^{2}$ 和 $Δ y = 0.25 m$ ，有界伯努利模型預測的喉部速度和喉部壓力是什麼？

P_{A}

截面 A 的壓力

32 kPa

Q

體積流量率

0.18 m³/s

A_{A}

入口截面A

0.1 m²

A_{B}

喉部截面

0.05 m²

Δ y

喉部上升

0.25 m

1. 用連續方程求喉部速度

The current areas give

v_{A} = 1.8 m/s

and

v_{B} = 3.6 m/s

, so the throat is 2 times as fast as section A.

2. 閱讀由速度驅動的壓力分額

Moving from section A to throat B shifts about

4.86 kPa

of static pressure into the kinetic term.

3. 包含高度項

Lifting the throat by

0.25 m

costs another

2.45 kPa

in the height term.

4. 閱讀剩餘的靜態壓力

So the throat pressure is

P_{B} = 24.69 kPa

, with a total drop of

7.31 kPa

. Most of the throat pressure drop here is being spent on extra speed through the narrower throat.

當前喉部狀態

v_{B} = 3.6 m/s, P_{B} = 24.69 kPa

Most of the throat pressure drop here is being spent on extra speed through the narrower throat.

快速測驗

正在載入已保存的測驗狀態。

無障礙

當你需要把模擬與圖表轉成文字描述時，再打開這裡。

模擬顯示一條穩定流動的管道，其中有入口截面 A 與抬高的喉部 B。管道厚度代表橫截面積，示蹤粒子顯示流體在管內流動，而速度箭頭則指出哪一段流得更快。

靜態壓力以靠近截面 A 和喉部 B 的緊湊儀表形式出現。伯努利預算條將每個狀態分成壓力、動能和高度的共享部分，以便保持壓力交易的可見性。

比較模式會以淡影顯示另一個管道狀態，讓兩個白努利設定可在同一個實驗台上讀取，而不需要切換到另一個脫節的模型。

圖表摘要

速度—喉部截面圖呈現了伯努利原理所依賴的連續方程速度變化。

壓力圖彙集了喉部寬度、流速和喉部高度如何重新塑造喉部壓力，同時同一個封閉的伯努利模型仍然有效。

工作台工具與分享連結

先把穩定概念連結和精確狀態分享收起來，等你真的要重新打開或分享工作台時再展開。

試試這個設定

跳到某個命名好的實驗台狀態，或直接複製你目前正在看的狀態。分享連結會重新打開同一組控制、圖表、疊層與比較脈絡。

目前實驗台

基準文氏管預設場景

這個實驗台目前顯示的是其中一個概念作者預設場景。

打開預設實驗台

已儲存設定

已儲存設定屬於支持者方案學習工具；穩定的概念連結仍會對所有人保留。

正在確認已儲存設定權限

Open Model Lab 正在判斷這個實驗台可否只儲存在本機、同步到帳戶，或打開只限支持者方案的比較工具。

複製目前設定

精準狀態分享屬於支持者方案功能；穩定的概念與段落連結仍然可用。

穩定連結

進度與下一步

把進度訊號、入門路徑接續和複習提示留在頁面裡，但不要讓它們和主要學習流程搶焦點。

進度

正在載入進度

正在為這個瀏覽器或已同步帳戶載入已儲存的概念進度，稍後才會顯示完成狀態。

入門路徑

第 3 / 5 步

流體與壓力

伯努利原理在這條路徑中屬於較後面的步驟，所以先由起點開始會較清楚。

上一個步驟：連通律

由路徑起點開始