物理 · 聲音

拍頻

模擬載入中

Open Model Lab 正在為這個概念準備即時實驗台、控制項與圖表區。

總結

你學會了甚麼

建議下一步: 打開概念測驗不離開這個概念，先確認核心想法是否已經掌握。
接下來讀甚麼: Wave InterferenceExtend the same superposition idea to spatial interference patterns

關鍵重點

A beat is the slow envelope around a faster resultant wave, not a separate source turning volume up and down.
Beat frequency is set by the frequency difference |f2 - f1|.
The carrier frequency follows the average of the two source frequencies, so the same beat rate can sit on a higher or lower pitch.

常見迷思

If two tones create beats, each tone must be changing its own loudness.

在此模型中，每個來源保持穩定的振幅。脈衝來自兩波疊加的方式。

將拍動帶入疊加和共振

把這個想法往前推

只有當你想讓目前的模型延伸成更大的分支時，才打開下一個概念、路線或路徑。

運動與音高波動

多普勒效應

觀看移動的聲源如何在前方壓縮波前、在後方拉伸波前，然後看看聲源和觀察者的運動如何結合起來改變所聽到的音高。

更廣泛的疊加波動

波干涉

將兩個相干波源疊加，追蹤其路徑差以獲得相位差，在同一即時螢幕上觀察明亮和暗淡區域的出現。

幹擾模式下的圖案波動

駐波

在一條即時弦上追蹤固定節點、擺動的反節點和諧波模式形狀，同時用同一個探針讀數顯示底層振動如何隨時間變化。

先留在這個概念

想再鞏固這個概念時，可以在這裡複習、測一測或自由探索。

更多練習選項回到實驗台複習 · 例題

練習選項回到實驗台複習帶著關鍵控制和圖表，再走一次引導式設定。
練習選項例題自己試完設定後，再對照已完成的例題步驟。
練習選項在實驗台自由探索轉到下一個概念前，先自由試玩即時控制。

接下來讀甚麼

用最相關的延伸概念，順勢接續下一段學習。

接下來讀甚麼Extend the same superposition idea to spatial interference patternsWave Interference
更多延伸閱讀Standing Waves · Doppler Effect
1. 接下來讀甚麼Use interference to build fixed nodes and antinodesStanding Waves
2. 接下來讀甚麼Compare beat changes with pitch shifts caused by motionDoppler Effect

參考

參考與支援

如果你想在引導流程之後再慢慢看完整解釋、例題或無障礙說明，可以回到這些較安靜的段落。

想再走一次較慢的參考節奏時，可以回來這裡。

打開參考與支援

公式速覽Envelope versus carrier snapshot · 結果包絡線與載波顯示 2 條公式

Keep the two time scales separate: the frequency difference sets the slow beat envelope, while the average frequency sets the faster carrier inside it.

Envelope versus carrier snapshot
$f_{b e a t} = ∣ f_{2} - f_{1} ∣$
包絡線的速度來自於來源頻率之間的差異。
結果包絡線與載波
$y = y_{1} + y_{2} = 2 A cos (π (f_{2} - f_{1}) t) sin (2 π \frac{f _{1} + f _{2}}{2} t)$
慢速的餘弦因子設定包絡線，而快速的正弦因子則保持在其中的平均頻率載波。

為什麼會這樣

解釋

當兩個相近頻率的聲波在同一聽者或探測器處疊加時，快速振動不會消失。相反，它會位於一個較慢的振幅包絡內，因此合併的運動會隨著時間而膨脹和縮小，即使每個來源都以自己的頻率穩定地振蕩。

這個模擬有意保持在一定範圍內。它顯示兩個等幅來源跡象、一個實時結果以及來自同一疊加狀態的相同音量提示。這樣做可以確保物理學的真實性：拍頻率來自頻率差異，而更快的載體仍然遵循平均來源頻率。

重點

01拍頻率取決於兩個來源頻率之間的差異，而不是取決於其平均振幅或單獨的平均頻率。

02這個脈衝是疊加後產生的包絡，因此每個來源都不需要自行變大或變小。

03保持相同的頻率差異可以確保相同的拍頻率，即使兩個來源頻率一起向上或向下移動。

例題

實時拍動檢查

想逐步查看同一個概念如何被帶出來時，再打開這些例題。

凍結步驟

逐步查看凍結例題

凍結步驟

這些檢查使用同一個疊加實驗台中的來源頻率和包絡狀態，讓數學仍然貼近拍頻模型。

支持者方案會解鎖已儲存學習工具、精確狀態分享，以及支援這條引導流程的更深入複習面板。

查看方案

例題 1 / 2

凍結數值使用凍結參數

對於這個生成拍頻設定， $f_{1} = 1 Hz$ 、 $f_{2} = 1.12 Hz$ ，可以得到哪個拍頻率和平均載波頻率？

f_{1}

來源A頻率

1 Hz

f_{2}

來源B頻率

1.12 Hz

f_{b e a t}

拍頻率

0.12 Hz

f_{a v g}

Average carrier frequency

1.06 Hz

1. 從相近頻率關係開始

使用

f_{b e a t} = ∣ f_{2} - f_{1} ∣

表示包絡速率，並用

f_{a v g} = \frac{f _{1} + f _{2}}{2}

表示底下較快的載波。

2. 代入設定中的來源對

f_{b e a t} = ∣1.12 - 1∣ = 0.12 Hz

，而

f_{a v g} = \frac{1 + 1.12}{2} = 1.06 Hz

。

3. 解讀脈衝速率

所以包絡以

0.12 Hz

重複，每個強弱循環約需 8.33 s，而較快振盪仍以

1.06 Hz

為中心。

拍頻與載波結果

f_{b e a t} = 0.12 Hz, f_{a v g} = 1.06 Hz

頻率差很小，所以載波會振盪許多次，慢速音量包絡才完成一個拍頻週期。

快速測驗

正在載入已保存的測驗狀態。

無障礙

當你需要把模擬與圖表轉成文字描述時，再打開這裡。

模擬顯示左側兩個來源驅動器、中間共享時間軸區域以及右側一個聽者提示。上部軌跡比較兩個來源的運動，而下部軌跡顯示其總和結果，帶有可選包絡指南。

可選疊加標籤包絡、音量提示和當前頻率差。在比較模式下，同一簡化實驗台在同一佈局中分為兩行出現，以便學習者可以對比拍動速率和載波頻率而不離開共享佈局。

圖表摘要

第一個圖表繪製源A、源B和結果位移隨時間的變化，使較快的載波在疊加中保持可見。

第二個圖表繪製歸一化包絡比值和有界音量提示隨時間的變化，以便可以單獨閱讀慢速拍動迴圈和快速振蕩。

工作台工具與分享連結

先把穩定概念連結和精確狀態分享收起來，等你真的要重新打開或分享工作台時再展開。

試試這個設定

跳到某個命名好的實驗台狀態，或直接複製你目前正在看的狀態。分享連結會重新打開同一組控制、圖表、疊層與比較脈絡。

目前實驗台

Near unison 預設場景

這個實驗台目前顯示的是其中一個概念作者預設場景。

打開預設實驗台

已儲存設定

已儲存設定屬於支持者方案學習工具；穩定的概念連結仍會對所有人保留。

正在確認已儲存設定權限

Open Model Lab 正在判斷這個實驗台可否只儲存在本機、同步到帳戶，或打開只限支持者方案的比較工具。

複製目前設定

精準狀態分享屬於支持者方案功能；穩定的概念與段落連結仍然可用。

穩定連結

進度與下一步

把進度訊號、入門路徑接續和複習提示留在頁面裡，但不要讓它們和主要學習流程搶焦點。

進度

正在載入進度

正在為這個瀏覽器或已同步帳戶載入已儲存的概念進度，稍後才會顯示完成狀態。

入門路徑

第 3 / 5 步

聲音與聲學

拍頻在這條路徑中屬於較後面的步驟，所以先由起點開始會較清楚。

上一個步驟：音高、頻率和音量 / 強度

也會出現在波動入門。

由路徑起點開始

拍頻