數學 · 向量

2D向量

模擬載入中

Open Model Lab 正在為這個概念準備即時實驗台、控制項與圖表區。

總結

你學會了甚麼

建議下一步: 打開概念測驗不離開這個概念，先確認核心想法是否已經掌握。
接下來讀甚麼: Matrix TransformationsLet matrices move the same plane, basis vectors, and arrows.

關鍵重點

A 2D vector can be read as one arrow and as one ordered pair of components.
Vector addition and subtraction share the same tip-to-tail picture once subtraction is treated as adding the opposite vector.
A scalar changes A before the combination step; a negative scalar flips its direction.
A small resultant is convincing only when the x- and y-components both explain the cancellation.

常見迷思

Do not treat the plane picture and component arithmetic as separate methods. They are two descriptions of the same vector state.

減法仍然是加法，但使用相反的向量。

將向量引入運動

把這個想法往前推

只有當你想讓目前的模型延伸成更大的分支時，才打開下一個概念、路線或路徑。

將同一平面轉換為網格上的矩陣操作和基向量向量

矩陣變換 / 拉伸、錯切、反射

把 2×2 矩陣當作平面上的動作來看，直接觀察列向量、單位正方形和樣本圖形如何一起被拉伸、錯切或反射，而不是隻背數字規則。

將合併轉化為對齊和投影向量

點積 / 角度和投影

保持兩個向量、它們之間的角度、B 在 A 上的有號投影以及標量 A 點 B 可以同時視覺化，以便對齊可以像圖形一樣閱讀而不是記憶案例。

將相同的向量語言應用於運動力學

向量和分量

旋轉並縮放一個即時向量，把它分解成水平和垂直分量，再觀察這些分量如何共同決定同一條直線運動。

先留在這個概念

想再鞏固這個概念時，可以在這裡複習、測一測或自由探索。

更多練習選項回到實驗台複習 · 例題

練習選項回到實驗台複習帶著關鍵控制和圖表，再走一次引導式設定。
練習選項例題自己試完設定後，再對照已完成的例題步驟。
練習選項在實驗台自由探索轉到下一個概念前，先自由試玩即時控制。

接下來讀甚麼

用最相關的延伸概念，順勢接續下一段學習。

接下來讀甚麼Let matrices move the same plane, basis vectors, and arrows.Matrix Transformations
更多延伸閱讀Dot Product / Angle and Projection · Vectors / Components
1. 接下來讀甚麼Use vector components to read alignment and projection.Dot Product / Angle and Projection
2. 接下來讀甚麼Carry the same component language into motion and physics.Vectors / Components

參考

參考與支援

如果你想在引導流程之後再慢慢看完整解釋、例題或無障礙說明，可以回到這些較安靜的段落。

想再走一次較慢的參考節奏時，可以回來這裡。

打開參考與支援

公式速覽分量形式 · 結果向量規則顯示 3 條公式

Read the component rule as the algebra version of the arrows: scale A first, choose B or -B, then combine x with x and y with y.

分量形式
$A = ⟨ A_{x}, A_{y} ⟩, B = ⟨ B_{x}, B_{y} ⟩$
每個向量都記錄在同一 2D 平面上的有序對。
結果向量規則
$r = s A \pm B = ⟨ s A_{x} \pm B_{x}, s A_{y} \pm B_{y} ⟩$
顯示加法和減法都是按分量進行的，一旦選擇了有效的第二個向量。
結果大小
$∣ r ∣ = r_{x}^{2} + r_{y}^{2}$
從垂直分量重建向量長度。

為什麼會這樣

解釋

當 2D 向量的代數和幾何保持在同一平面上時，就更容易被真正理解。這個模組讓兩個向量、純量乘數和結果同時保持可見，所以加法、減法和縮放都能被讀成同一座標系裡的實際移動。

處理向量的重要習慣是將其視為整體箭頭和有序分量對。平面顯示方向和長度，而分量讀取和響應圖表則以代數形式展示同一物件。

重點

01一個2D向量既有大小又有方向，其分量以坐標形式記錄同一物件。

02向量加法和減法可以透過箭頭的箭頭相接法或透過組合分量來代數地讀取。

03純量乘法改變向量的大小，負的純量則透過原點翻轉其方向。

例題

想逐步查看同一個概念如何被帶出來時，再打開這些例題。

凍結步驟

逐步查看凍結例題

凍結步驟

使用平面上的當前向量和純量。相同的活體狀態驅動舞台、響應圖表以及這些替換。

支持者方案會解鎖已儲存學習工具、精確狀態分享，以及支援這條引導流程的更深入複習面板。

查看方案

例題 1 / 2

凍結數值使用凍結參數

對於當前設定，結果向量有哪些分量？

s

標量

A_{x}

A x-分量

A_{y}

A y-分量

B_{x}

B x-分量

1.5

B_{y}

B y-分量

1. 首先縮放向量A

The scaled first vector is sA = <3, 2>.

2. 然後與有效的第二個向量結合

The current operation is sA + B, so the second piece contributes <1.5, 3>.

3. 加上分量

That gives result = <3 + 1.5, 2 + 3> = <4.5, 5>.

當前結果

r = ⟨ 4.5, 5 ⟩

Addition is being shown tip-to-tail, so the resultant runs from the origin to the final endpoint after sA and B are combined.

快速測驗

正在載入已保存的測驗狀態。

無障礙

當你需要把模擬與圖表轉成文字描述時，再打開這裡。

模擬顯示一個坐標平面，其中兩個可拖動的向量從原點開始，一個標量化的第一個向量版本，以及一個結果向量。選項疊加層顯示首尾相接構造、結果分量引導和標量化的第一個向量。

任何組成部分、標量或減法模式的更改都會同時更新平面、代數讀出和響應圖表，以便學習者可以直接比較幾何檢視和代數檢視。

圖表摘要

一個圖表顯示結果向量的 x- 和 y- 分量隨著 A 的標量變化。另一個圖表則顯示結果向量的大小如何隨著相同的標量掃描而變化。

這些圖表與同一 LIVE 平面相關聯，因此當前的標量值和當前的結果箭頭匹配高亮的響應點。

工作台工具與分享連結

先把穩定概念連結和精確狀態分享收起來，等你真的要重新打開或分享工作台時再展開。

試試這個設定

跳到某個命名好的實驗台狀態，或直接複製你目前正在看的狀態。分享連結會重新打開同一組控制、圖表、疊層與比較脈絡。

目前實驗台

Balanced sum 預設場景

這個實驗台目前顯示的是其中一個概念作者預設場景。

打開預設實驗台

已儲存設定

已儲存設定屬於支持者方案學習工具；穩定的概念連結仍會對所有人保留。

正在確認已儲存設定權限

Open Model Lab 正在判斷這個實驗台可否只儲存在本機、同步到帳戶，或打開只限支持者方案的比較工具。

複製目前設定

精準狀態分享屬於支持者方案功能；穩定的概念與段落連結仍然可用。

穩定連結

進度與下一步

把進度訊號、入門路徑接續和複習提示留在頁面裡，但不要讓它們和主要學習流程搶焦點。

進度

正在載入進度

正在為這個瀏覽器或已同步帳戶載入已儲存的概念進度，稍後才會顯示完成狀態。

入門路徑

第 1 / 2 步

向量與運動橋接

向量和分量是這條路徑接下來會打開的內容。

這個概念就是這條路徑的起點。

看看下一個概念