下一步
把這個想法往前推
只有當你想讓目前的模型延伸成更大的分支時，才打開下一個概念、路線或路徑。
數學 · 複數和平面引數運動
從單位圓幾何學出正弦恆等式
模擬載入中
Open Model Lab 正在為這個概念準備即時實驗台、控制項與圖表區。
總結
你學會了甚麼
- 建議下一步
- 打開概念測驗不離開這個概念，先確認核心想法是否已經掌握。
- 接下來讀甚麼
- Inverse Trig / Angle from RatioRecover angles from ratios while keeping the quadrant signs that made the identity honest.
關鍵重點
- Every point on the unit circle satisfies x^2 + y^2 = 1 because the radius is fixed at 1.
- Reading that same point as (cos θ, sin θ) gives cos^2 θ + sin^2 θ = 1.
- Raw sine or cosine signs can flip across quadrants, but the squared identity survives because the distance from the origin is unchanged.
- Complementary first-quadrant angles swap horizontal and vertical projections, so sine and cosine trade roles.
常見迷思
Do not treat trig identities as detached algebra rules. Keep the point, projections, and radius visible so each identity has a geometric reason.
這些恆等式來自與活躍投影相同的幾何。
先留在這個概念
想再鞏固這個概念時，可以在這裡複習、測一測或自由探索。
接下來讀甚麼
用最相關的延伸概念，順勢接續下一段學習。
- 接下來讀甚麼Recover angles from ratios while keeping the quadrant signs that made the identity honest.Inverse Trig / Angle from Ratio
更多延伸閱讀Parametric Curves / Motion from Equations · Derivative as Slope / Local Rate of Change
參考
參考與支援
如果你想在引導流程之後再慢慢看完整解釋、例題或無障礙說明，可以回到這些較安靜的段落。
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公式速覽單位圓上的距離規則 · 畢氏恆等式顯示 3 條公式
Read x^2 + y^2 = 1 from the radius first, substitute x = cos θ and y = sin θ second, then use first-quadrant projection swaps for complementary-angle identities.
單位圓上的距離規則
單位圓上任何一點都恰好與原點相距一單位。
畢氏恆等式
將x = cos θ和y = sin θ代入單位圓距離規則，得到核心恆等式。
補角互換
在第一象限，補角會交換同一個直角三角形的水平和垂直投影。
為什麼會這樣
解釋
三角恆等式更真實地停留在與旋轉點同一個單位圓平台上。此頁面保持點、其投影和平方投影圖形的可見性，使恆等式來自幾何而不是看起來像是脱離符號的把戲。
在單位圓上，半徑總是 1，所以每個活躍點都滿足 x^2 + y^2 = 1。一旦將同一個點讀作 (cos θ, sin θ)，畢氏恆等式就被影像所強制。餘角交換也是幾何上的：在第一象限，水平和垂直投影互換會使正弦和餘弦互換位置。
重點
01由於單位圓的半徑為 1，每個活躍點都滿足 x^2 + y^2 = 1。
02用 cos θ 替換 x 和 sin θ 替換 y 得到 cos^2 θ + sin^2 θ = 1。
03原始的正弦和餘弦符號在象限之間可以改變，但平方和保持不變，因為從原點的距離不會改變。
04在第一象限，水平和垂直投影互換，這就是為什麼正弦和餘弦會互換位置的原因。
例題
例題
想逐步查看同一個概念如何被帶出來時，再打開這些例題。
例題
例題
想逐步查看同一個概念如何被帶出來時，再打開這些例題。
凍結數值使用凍結參數
對於恆等式平衡預設，單位圓上的點關於核心恆等式説了什麼？
起始角度
53.1 °
1. 閱讀活躍投影
At about 53.1 deg, the unit-circle point is close to (0.60, 0.80), so cos theta is about 0.60 and sin theta is about 0.80.
2. 將相同的兩個投影平方
That gives cos^2 theta \approx 0.36 and sin^2 theta \approx 0.64.
3. 加上平方的部分
The squared-projection graph shows the same result numerically: 0.36 + 0.64 = 1.00.
恆等式檢查
\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1
The identity is not a separate algebra trick. It is the distance formula for one point that never leaves the unit circle.
快速測驗
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無障礙
無障礙
當你需要把模擬與圖表轉成文字描述時，再打開這裡。
無障礙
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模擬顯示一個單位圓，帶有一個旋轉點、水平和垂直投影引導、角度標記、象限符號圖表以及比較原始投影與其平方值的圖形。
圖表摘要
一個圖形顯示餘弦和正弦隨著時間變化，另一個圖形顯示餘弦平方、正弦平方及其總和保持固定在1。
工作台工具與分享連結
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