物理 · 機械學

滾動運動

模擬載入中

Open Model Lab 正在為這個概念準備即時實驗台、控制項與圖表區。

總結

你學會了甚麼

建議下一步: 打開概念測驗不離開這個概念，先確認核心想法是否已經掌握。
接下來讀甚麼: Angular MomentumCarry the same rotational bookkeeping into a conserved quantity.

關鍵重點

Rolling without slipping keeps center speed and angular speed locked by $v_{cm} = r ω$ .
Shape changes the race because the inertia factor changes how the same downhill pull is split between translation and rotation.
Static friction supplies the rolling torque even while the object still accelerates down the incline.

常見迷思

A larger or heavier-looking rolling object must always lose because size alone controls the race.

在這個限制的無滑動模型中，關鍵比賽變數不是總質量。而是相對於軸心的質量分佈如何分配，由這裡的慣性因子 $k$ 來總結。

將滾動思想向前推進

把這個想法往前推

只有當你想讓目前的模型延伸成更大的分支時，才打開下一個概念、路線或路徑。

沿用旋轉語言力學

角動量

把角動量看成旋轉版的動量，直接觀察質量半徑與角速度如何在同一組讀數、圖表與守恆情境下互相配合。

回顧旋轉語言力學

均速圓周運動

跟隨粒子以恆定速率繞圓運動，並把半徑、角速度、切向速度、向心加速度與所需向心力連回同一個即時狀態。

線性類比力學

動量與衝量

用帶時長的力脈衝推一輛小車，觀察動量、衝量和力-時間面積如何在同一段運動、讀數和圖表中保持一致。

先留在這個概念

想再鞏固這個概念時，可以在這裡複習、測一測或自由探索。

更多練習選項回到實驗台複習 · 例題

練習選項回到實驗台複習帶著關鍵控制和圖表，再走一次引導式設定。
練習選項例題自己試完設定後，再對照已完成的例題步驟。
練習選項在實驗台自由探索轉到下一個概念前，先自由試玩即時控制。

接下來讀甚麼

用最相關的延伸概念，順勢接續下一段學習。

接下來讀甚麼Carry the same rotational bookkeeping into a conserved quantity.Angular Momentum
更多延伸閱讀Rotational Inertia / Moment of Inertia
1. 接下來讀甚麼Return to the mass-distribution idea that shaped the rolling race.Rotational Inertia / Moment of Inertia

參考

參考與支援

如果你想在引導流程之後再慢慢看完整解釋、例題或無障礙說明，可以回到這些較安靜的段落。

想再走一次較慢的參考節奏時，可以回來這裡。

打開參考與支援

公式速覽無滑動滾動 · 斜面上的滾動加速度顯示 3 條公式

Keep the no-slip link in view first, then use the acceleration and energy split to explain why different shapes race differently.

無滑動滾動
$v_{cm} = r ω, a_{cm} = r α$
平移和旋轉被鎖定在一起。接觸點不會滑動，因此必須保持線性和角運動學的一致性。
斜面上的滾動加速度
$a_{cm} = \frac{g sin θ}{1 + k}$
相同的傾角驅動每一個設定，但較大的慣性因子會留下更少可用於質心加速的那部分向下拉力。
滾動的能量分配
$m g h = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} I ω^{2}$
重力位能的損失同時轉化為平移和旋轉動能。

為什麼會這樣

解釋

沒有滑動的滾動將平移運動和旋轉運動聯絡在同一個真實狀態。物體中心質量沿斜面向下加速，同時旋轉速度足夠快以保持接觸點不滑動。

此裝置故意限制在一定範圍內。一個剛性滾動體在一條斜面上以無滑動約束運動，因此關鍵比較保持誠實：相同的重力分量沿斜面向下作用，而形狀和質量分佈決定了這種運動必須如何增加旋轉。

重點

01沒有滑動的滾動意味著物體中心質量速度和角速度由

v_{cm} = r ω

鎖定。

02不同的形狀因為其旋轉慣性改變了相同的下坡拉力在平移和旋轉之間的分配。一個方便的總結是

k = I / (m r^{2})

。

03對於同一個斜面角度，物體中心質量加速度成為

a_{cm} = g sin θ / (1 + k)

。慣性因子越小，滾動速度越快。

04在這個有界的無滑動模型中，改變半徑本身不會改變質心加速度；半徑主要透過

ω = v / r

改變所需角速度。

例題

實時滾動檢查

想逐步查看同一個概念如何被帶出來時，再打開這些例題。

凍結步驟

逐步查看凍結例題

凍結步驟

使用實時斜面、形狀預設值和檢查的時間來解決你實際看到的滾動狀態。

支持者方案會解鎖已儲存學習工具、精確狀態分享，以及支援這條引導流程的更深入複習面板。

查看方案

例題 1 / 2

凍結數值使用凍結參數

對於當前設定，這個solid cylinder應該具備什麼加速度，並且它需要多長時間才能完整地行駛整個 $2.4 m$ 斜面？

θ

傾角

12 °

k

慣性因子

0.5

1. 開始使用沒有滑動的滾動加速度規則

For this bounded incline use

a_{cm} = \frac{g sin θ}{1 + k}

, with

g = 9.81 m/ s^{2}

and

k = 0.5

2. 插入實時斜面和形狀回應

With

θ = 1 2^{\circ}

, the center-of-mass acceleration becomes

a_{cm} = 1.36 m/ s^{2}

for the current shape or custom mass distribution.

3. 將加速度轉換為斜面時間

The ramp length is

L = 2.4 m

, so from rest use

L = \frac{1}{2} a t^{2}

. That gives a travel time of

1.88 s

當前加速度和斜面時間

a_{cm} = 1.36 m/ s^{2}, t_{bottom} = 1.88 s

The solid cylinder sits between the sphere and hoop cases, so its acceleration and travel time stay in the middle as well.

快速測驗

正在載入已保存的測驗狀態。

無障礙

當你需要把模擬與圖表轉成文字描述時，再打開這裡。

模擬顯示一個滾輪從左到右沿著單個斜面下降。輪子內部變換以表示實心球、實心圓柱體、環或自定義質量分佈，同時中心點和輻射線隨著運動旋轉。

可選覆蓋層可以顯示中心速度與角速度之間的無打滑關係、質量佈局和慣性因子提示、能量分隔條以及上坡靜摩擦力和滾動扭距。讀出卡片報告實時時間、斜率、加速度、行進時間和旋轉狀態。

圖表摘要

距離曲線向上彎曲，因為質心沿著斜面向下加速。無打滑速度關係圖在滾動無打滑活動時始終將中心速度與 $r ω$ 重疊。

能量圖顯示平移、旋轉和總動能。加速度影像隨著慣性因子上升而下降，這就是為什麼在相同的斜面上，環滾動得比球慢的原因。

工作台工具與分享連結

先把穩定概念連結和精確狀態分享收起來，等你真的要重新打開或分享工作台時再展開。

試試這個設定

跳到某個命名好的實驗台狀態，或直接複製你目前正在看的狀態。分享連結會重新打開同一組控制、圖表、疊層與比較脈絡。

目前實驗台

Solid cylinder 預設場景

這個實驗台目前顯示的是其中一個概念作者預設場景。

打開預設實驗台

已儲存設定

已儲存設定屬於支持者方案學習工具；穩定的概念連結仍會對所有人保留。

正在確認已儲存設定權限

Open Model Lab 正在判斷這個實驗台可否只儲存在本機、同步到帳戶，或打開只限支持者方案的比較工具。

複製目前設定

精準狀態分享屬於支持者方案功能；穩定的概念與段落連結仍然可用。

穩定連結

進度與下一步

把進度訊號、入門路徑接續和複習提示留在頁面裡，但不要讓它們和主要學習流程搶焦點。

進度

正在載入進度

正在為這個瀏覽器或已同步帳戶載入已儲存的概念進度，稍後才會顯示完成狀態。

入門路徑

第 4 / 5 步

轉動力學

滾動運動在這條路徑中屬於較後面的步驟，所以先由起點開始會較清楚。

上一個步驟：轉動慣量 / 軸子慣性

由路徑起點開始