數學 · 微積分

導數作為斜率 / 區域性變化率

模擬載入中

Open Model Lab 正在為這個概念準備即時實驗台、控制項與圖表區。

總結

你學會了甚麼

建議下一步: 打開概念測驗不離開這個概念，先確認核心想法是否已經掌握。
接下來讀甚麼: Limits and Continuity / Approaching a ValueSupport the limit picture underneath derivative

關鍵重點

The derivative at one point is the tangent slope there: the local rate of change on the original curve.
Shrinking delta x makes the secant slope approach that tangent slope.
The derivative graph stores the local tangent slope across the whole curve.

常見迷思

The derivative is just another average slope between two nearby points.

導數圖表是由原始曲線上切線的斜率構建而成的。

下一步

把這個想法往前推

只有當你想讓目前的模型延伸成更大的分支時，才打開下一個概念、路線或路徑。

從割線到切線的語言縮小到單邊極限和連續性微積分

極限與連續性 / 接近一個值

從左邊和右邊接近目標點，比較極限高度與實際函式值，並對照連續、可移除空洞、跳躍與發散行為在同一張誠實影像上的表現。

使用一個受限制的矩形現場上的區域性斜率來找到真正的最大值微積分

最最佳化 / 最大值、最小值和限制條件

移動一個長方形的寬度，觀察在固定周長下的面積曲線峯值，並使用區域性斜率來瞭解為什麼正方形是最佳限制形狀。

將區域性斜率帶入累積總數和有號面積微積分

積分作為累積/面積

把上限邊界移到原函式曲線上，觀察帶符號面積如何逐步累積成總量，讓累積過程保持可視，而不只是符號操作。

先留在這個概念

想再鞏固這個概念時，可以在這裡複習、測一測或自由探索。

更多練習選項回到實驗台複習 · 例題

練習選項回到實驗台複習帶著關鍵控制和圖表，再走一次引導式設定。
練習選項例題自己試完設定後，再對照已完成的例題步驟。
練習選項在實驗台自由探索轉到下一個概念前，先自由試玩即時控制。

接下來讀甚麼

用最相關的延伸概念，順勢接續下一段學習。

接下來讀甚麼Support the limit picture underneath derivativeLimits and Continuity / Approaching a Value
更多延伸閱讀Integral as Accumulation / Area
1. 接下來讀甚麼Pair local rate with accumulated totalIntegral as Accumulation / Area

參考

參考與支援

如果你想在引導流程之後再慢慢看完整解釋、例題或無障礙說明，可以回到這些較安靜的段落。

想再走一次較慢的參考節奏時，可以回來這裡。

打開參考與支援

公式速覽割線斜率 · 導數顯示 3 條公式

割線斜率
$secant slope = \frac{f ( x + Δ x ) - f ( x )}{Δ x}$
衡量有限水平區間上的平均變化率。
導數
$f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f ( x + Δ x ) - f ( x )}{Δ x}$
定義切線斜率為割線斜率的極限值。
切線線條
$y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$
使用某一點處的導數來寫出透過該點的切線。

為什麼會這樣

解釋

當斜率問題始終附著於曲線上的一個可見點時，導數就不再抽象。本模組保持點、切線、割線和導數圖表在同一視野中，從而使區域性變化率從脱離符號的表述中不會漂移。

這裡的曲線故意固定。你沿著它滑動點，縮小或擴大delta x，並觀察一段割線的平均速率如何趨向切線的瞬時斜率。

重點

01割線斜率是曲線上兩個鄰近點之間的平均變化率。

02切線斜率是一個點處的區域性變化率，也是導數記錄的內容。

03導數圖表顯示隨著你沿著曲線滑動該點時區域性斜率如何變化。

例題

想逐步查看同一個概念如何被帶出來時，再打開這些例題。

凍結步驟

逐步查看凍結例題

凍結步驟

使用現場上的當前點和割線。相同的控制項驅動舞台、圖表標籤以及這些替換。

支持者方案會解鎖已儲存學習工具、精確狀態分享，以及支援這條引導流程的更深入複習面板。

查看方案

例題 1 / 2

凍結數值使用凍結參數

對於當前點和delta x，割線顯示什麼平均變化率？

x

點位置

Δ x

delta x

0.8

1. 讀取曲線上兩個點

The secant runs from

(0, 0)

(0.8, - 0.71)

2. 形成差商

Use

\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{- 0.71 - 0}{0.8}

, where

Δ y = - 0.71

3. 計算平均變化率

So the secant slope is

\frac{- 0.71}{0.8} = - 0.88

當前割線斜率

m_{secant} = - 0.88

The secant slope still differs noticeably, which is the cue that Δx has not shrunk enough yet for the average rate to match the local one closely.

快速測驗

正在載入已保存的測驗狀態。

工作台工具與分享連結

先把穩定概念連結和精確狀態分享收起來，等你真的要重新打開或分享工作台時再展開。

試試這個設定

跳到某個命名好的實驗台狀態，或直接複製你目前正在看的狀態。分享連結會重新打開同一組控制、圖表、疊層與比較脈絡。

目前實驗台

Negative slope 預設場景

這個實驗台目前顯示的是其中一個概念作者預設場景。

打開預設實驗台

已儲存設定

已儲存設定屬於支持者方案學習工具；穩定的概念連結仍會對所有人保留。

正在確認已儲存設定權限

Open Model Lab 正在判斷這個實驗台可否只儲存在本機、同步到帳戶，或打開只限支持者方案的比較工具。

複製目前設定

精準狀態分享屬於支持者方案功能；穩定的概念與段落連結仍然可用。

穩定連結

進度與下一步

把進度訊號、入門路徑接續和複習提示留在頁面裡，但不要讓它們和主要學習流程搶焦點。

進度

正在載入進度

正在為這個瀏覽器或已同步帳戶載入已儲存的概念進度，稍後才會顯示完成狀態。

入門路徑

第 4 / 6 步

函數與變化

導數作為斜率 / 區域性變化率在這條路徑中屬於較後面的步驟，所以先由起點開始會較清楚。

上一個步驟：指數變化 / 生長、衰減與對數

由路徑起點開始